Η OpenAI «σπάει» τις Navier-Stokes

Οι εξισώσεις Ναβιέ-Στόουκς περιγράφουν την κίνηση των ρευστών, από τα θαλάσσια ρεύματα και τον καπνό έως το νερό που βγαίνει από ένα λάστιχο κήπου. Το κατά πόσον οι λύσεις τους στις τρεις διαστάσεις παραμένουν πάντοτε ομαλές και πεπερασμένες ή μπορούν να οδηγηθούν σε απειρισμό, χάνοντας το μαθηματικό τους νόημα, αποτελεί ένα από τα επτά Προβλήματα της Χιλιετίας που έχει θέσει το Clay Mathematics Institute. Στις 8 Σεπτεμβρίου, η OpenAI δημοσίευσε μια μελέτη 166 σελίδων και μια τυπική απόδειξη που μπορεί να ελεγχθεί από υπολογιστή, υποστηρίζοντας ότι έλυσε το πρόβλημα. Τρεις ημέρες αργότερα, το Clay απάντησε ότι το ζήτημα «φαίνεται πως έχει διευθετηθεί», μια ασυνήθιστα θετική αλλά ρητά προσωρινή διατύπωση.

Ο ισχυρισμός είναι στενότερος απ’ όσο αφήνει να εννοηθεί μεγάλο μέρος της σχετικής κάλυψης. Το αποτέλεσμα της OpenAI αφορά ρευστά που δέχονται εξωτερική δύναμη: μια προσεκτικά σχεδιασμένη, ομαλή ώθηση οδηγεί ένα αρχικά ακίνητο ρευστό σε ανωμαλία, δηλαδή σε σημείο όπου οι εξισώσεις παύουν να δίνουν πεπερασμένη απάντηση, μέσα σε πεπερασμένο χρόνο. Δεν απαντά αν ένα συνηθισμένο ρευστό, χωρίς εξωτερική παρέμβαση, μπορεί να οδηγηθεί αυθόρμητα σε τέτοια κατάρρευση. Η διάκριση αυτή ορίζει το πραγματικό εύρος του αποτελέσματος.

Γιατί έχει σημασία η εξωτερική δύναμη

Η επίσημη διατύπωση του προβλήματος από το Clay προβλέπει τέσσερις δυνατές οδούς επίλυσης. Οι δύο ζητούν να αποδειχθεί αν οι ομαλές ροές παραμένουν πάντοτε ομαλές. Οι άλλες δύο, οι εναλλακτικές C και D, επιτρέπουν την κατασκευή μιας περίπτωσης στην οποία η ομαλή ροή καταρρέει αναπόφευκτα, ακόμη και υπό την επίδραση ομαλής εξωτερικής δύναμης.

Η OpenAI ακολούθησε τη δεύτερη οδό. Σύμφωνα με τη μελέτη της, για οποιοδήποτε επίπεδο ιξώδους —της ιδιότητας που κάνει το μέλι να ρέει αργά και το νερό ευκολότερα— μπορεί να κατασκευαστεί μια ομαλή δύναμη η οποία οδηγεί ένα αρχικά ακίνητο ρευστό σε ανωμαλία, ενώ η συνολική κινητική ενέργεια παραμένει πεπερασμένη. Εφόσον η απόδειξη αντέξει στον έλεγχο, πληροί τους όρους που έχει θέσει το Clay.

Η μέθοδος στηρίζεται σε προγενέστερη έρευνα. Οι Ισπανοί μαθηματικοί Ντιέγο Κόρδοβα και Λουίς Μαρτίνεθ-Ζορόα, μαζί με τον Φαν Ζενγκ, είχαν ήδη δείξει σε προδημοσίευση ότι η εξωτερικά προκαλούμενη κατάρρευση ήταν δυνατή σε μια ασθενέστερη εκδοχή των εξισώσεων, όπου η εξομαλυντική επίδραση του ιξώδους είχε περιοριστεί τεχνητά. Η πρόοδος που διεκδικεί η OpenAI είναι ότι κατόρθωσε να εφαρμόσει την ίδια στρατηγική στις πλήρεις εξισώσεις, χωρίς τροποποιήσεις.

Τι επαληθεύει το Lean

Το συνοδευτικό αποθετήριο σε Lean 4 είναι το στοιχείο που διαφοροποιεί τον ισχυρισμό. Το Lean είναι σύστημα υποβοήθησης αποδείξεων: απορρίπτει κάθε λογικό βήμα που δεν προκύπτει από τους κωδικοποιημένους ορισμούς και τους αποδεκτούς κανόνες, με κάθε συμπέρασμα να ελέγχεται από έναν μικρό και αξιόπιστο πυρήνα λογισμικού.

Η διαδικασία αυτή διευκολύνει ουσιαστικά τον έλεγχο σε σύγκριση με μια απόδειξη διατυπωμένη αποκλειστικά σε μαθηματικό πεζό λόγο. Το Lean, ωστόσο, ελέγχει μόνο την εσωτερική συνέπεια: αν τα συμπεράσματα απορρέουν από τους ορισμούς όπως αυτοί κωδικοποιήθηκαν. Το αν οι ορισμοί αποτυπώνουν πιστά όλους τους όρους της αγγλόγλωσσης διατύπωσης του Clay πρέπει να το κρίνουν ειδικοί στη δυναμική των ρευστών. Η μελέτη και το αποθετήριο δημοσιεύθηκαν από την ίδια την εταιρεία, δεν έχουν περάσει από επιστημονική αξιολόγηση και, έως τις 14 Σεπτεμβρίου, δεν είχε καταγραφεί δημόσια κανένας πλήρης ανεξάρτητος έλεγχος του αποθετηρίου.

Η OpenAI αναφέρει ότι το αναλυτικό αποτέλεσμα παρήχθη από ιδιόκτητο σύστημα παράλληλων μονάδων τεχνητής νοημοσύνης και στη συνέχεια τυποποιήθηκε στο Lean από το μοντέλο GPT-6 Astra (OpenAI). Τα στοιχεία που δίνει η εταιρεία για την κλίμακα και την ταχύτητα της διαδικασίας δεν μπορούν να επαληθευτούν ανεξάρτητα: τρίτοι έχουν τη δυνατότητα να ελέγξουν το τελικό αποτέλεσμα, όχι όμως να αναπαραγάγουν τον τρόπο με τον οποίο δημιουργήθηκε.

Το Quanta Magazine ανέφερε ότι περίπου δώδεκα ώρες πριν από την ανακοίνωση της OpenAI, ο Τρίσταν Μπάκμαστερ του NYU και ο Λέβεντ Αλπόγκε, ο οποίος συνδέεται με την Anthropic, δημοσίευσαν συναφή αποτελέσματα με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης για γειτονικές εξισώσεις ρευστών, αξιοποιώντας την ίδια στρατηγική των Κόρδοβα και Μαρτίνεθ-Ζορόα. Η σύγκλιση δύο εταιρικών εργαστηρίων τεχνητής νοημοσύνης προς την ίδια ερευνητική κατεύθυνση δείχνει πόσο καθοριστική υπήρξε η μαθηματική εργασία που είχε προηγηθεί στα πανεπιστήμια.

Τι ακολουθεί

Οι κανόνες του βραβείου του Clay απαιτούν δημοσίευση σε αναγνωρισμένο επιστημονικό περιοδικό με αξιολόγηση από ομοτίμους, τουλάχιστον δύο χρόνια ελέγχου από τη μαθηματική κοινότητα και διαπίστωση ευρείας αποδοχής, προτού καν αρχίσει να εξετάζει την υπόθεση ειδική επιτροπή. Μέχρι στιγμής δεν έχει εντοπιστεί υποβολή της μελέτης της OpenAI σε επιστημονικό περιοδικό.

Αν ο ανεξάρτητος έλεγχος επιβεβαιώσει την απόδειξη, θα έχει αποδειχθεί ότι οι καθιερωμένες τρισδιάστατες εξισώσεις Ναβιέ-Στόουκς, όταν περιλαμβάνουν ομαλή εξωτερική δύναμη, μπορούν να αναπτύξουν ανωμαλία σε πεπερασμένο χρόνο. Θα παραμένει ανοιχτή η περίπτωση χωρίς εξωτερική δύναμη: αν δηλαδή ένα ρευστό, ακολουθώντας μόνο τη δική του φυσική δυναμική, μπορεί να καταρρεύσει αυθόρμητα. Ένα σκέλος του προβλήματος θα έχει απαντηθεί· το άλλο θα εξακολουθεί να περιμένει λύση.