OpenAI erzwingt Navier-Stokes-Singularität

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung von Flüssigkeiten und Gasen, von Meeresströmungen über aufsteigenden Rauch bis zum Wasserstrahl eines Gartenschlauchs. Ob ihre Lösungen in drei Dimensionen stets glatt und endlich bleiben oder unter bestimmten Bedingungen in eine mathematische Singularität münden, zählt zu den sieben Millennium-Problemen des Clay Mathematics Institute. Am 8. September veröffentlichte OpenAI ein 166 Seiten umfassendes Manuskript samt maschinenprüfbarem formalem Beweis und erklärte, das Problem gelöst zu haben. Drei Tage später teilte das Institut mit, die Frage sei „offenbar geklärt“. Das ist eine ungewöhnlich positive, aber ausdrücklich vorläufige Einschätzung.

Der behauptete Durchbruch ist enger gefasst, als es viele Berichte erkennen lassen. OpenAI untersucht erzwungene Strömungen: Eine gezielt konstruierte, glatte äußere Kraft treibt eine anfangs ruhende Flüssigkeit innerhalb endlicher Zeit in eine Singularität, an der die mathematische Lösung keinen endlichen Wert mehr liefert. Ob eine gewöhnliche, nicht von außen angetriebene Strömung von selbst kollabieren kann, beantwortet der Beweis nicht. Diese Unterscheidung bestimmt, was OpenAI tatsächlich gezeigt haben will.

Warum die äußere Kraft entscheidend ist

Die offizielle Aufgabenstellung des Clay Mathematics Institute sieht vier mögliche Lösungswege vor. Zwei davon verlangen den Nachweis, dass glatte Strömungen für alle Zeiten glatt bleiben. Die beiden anderen, als Alternativen C und D bezeichnet, erlauben die Konstruktion einer Situation, in der eine zunächst glatte Strömung zwangsläufig eine Singularität entwickelt. In diesen beiden Varianten ist eine glatte äußere Kraft ausdrücklich zulässig.

OpenAI wählte diesen zweiten Weg. Dem Manuskript zufolge lässt sich für jeden Grad an Viskosität, also für jene Eigenschaft, die Honig zäh und Wasser vergleichsweise leicht fließen lässt, eine glatte Kraft so konstruieren, dass sie eine anfangs unbewegte Flüssigkeit in eine Singularität treibt. Die gesamte Bewegungsenergie bleibe dabei begrenzt. Hält der Beweis der Prüfung stand, wären damit die von Clay formulierten Bedingungen erfüllt.

Das Verfahren knüpft an frühere Arbeiten an. Die spanischen Mathematiker Diego Córdoba und Luis Martínez-Zoroa hatten gemeinsam mit Fan Zheng bereits in einem Vorabdruck gezeigt, dass eine äußere Kraft in einer abgeschwächten Variante der Gleichungen zum Kollaps führen kann. In diesem Modell war die glättende Wirkung der Viskosität allerdings künstlich reduziert. OpenAI beansprucht nun, diese Strategie auf die vollständigen, unveränderten Gleichungen übertragen zu haben.

Was Lean tatsächlich prüft

Ungewöhnlich wird die Veröffentlichung durch das begleitende Lean-4-Repository. Lean ist ein Beweisassistent: Das Programm akzeptiert einen logischen Schritt nur dann, wenn dieser aus den zuvor festgelegten Definitionen und Regeln folgt. Jede Schlussfolgerung wird dabei von einem kleinen, als vertrauenswürdig vorausgesetzten Softwarekern überprüft.

Das erleichtert die Kontrolle gegenüber einem ausschließlich in mathematischer Prosa verfassten Beweis erheblich. Lean prüft jedoch nur die innere Folgerichtigkeit, also ob sich die Ergebnisse aus den einprogrammierten Definitionen ableiten lassen. Ob diese Definitionen sämtliche Bedingungen der englischsprachigen Clay-Aufgabenstellung korrekt abbilden, müssen Fachleute für Strömungsmechanik beurteilen. Manuskript und Repository wurden vom Unternehmen selbst veröffentlicht und haben noch kein Begutachtungsverfahren durchlaufen; bis zum 14. September war auch keine vollständige unabhängige Prüfung des Repositorys öffentlich dokumentiert.

Nach Angaben von OpenAI habe ein firmeneigenes System parallel arbeitender KI-Instanzen das analytische Ergebnis entwickelt, bevor das Modell GPT-6 Astra den Beweis in Lean formalisiert habe (OpenAI). Die vom Unternehmen genannten Angaben zu Umfang und Geschwindigkeit des Verfahrens lassen sich unabhängig nicht nachvollziehen: Außenstehende können das Ergebnis prüfen, nicht aber den Entstehungsprozess wiederholen.

Quanta Magazine berichtete, dass Tristan Buckmaster von der New York University und der mit Anthropic verbundene Mathematiker Levent Alpöge etwa zwölf Stunden vor OpenAIs Ankündigung verwandte, KI-gestützte Ergebnisse zu benachbarten Strömungsgleichungen veröffentlicht hätten. Auch sie griffen auf die Strategie von Córdoba und Martínez-Zoroa zurück. Dass zwei kommerzielle KI-Labore nahezu zeitgleich denselben, an Universitäten entwickelten Ansatz verfolgen, zeigt eben auch, wie stark der beanspruchte Durchbruch auf bereits geleisteter mathematischer Arbeit beruht.

Wie es weitergeht

Nach den Preisregeln des Clay Mathematics Institute muss ein Beweis zunächst in einer anerkannten Fachzeitschrift mit Begutachtungsverfahren erscheinen. Danach folgen mindestens zwei Jahre öffentlicher Prüfung durch die Fachwelt; erst wenn das Ergebnis allgemein anerkannt ist, nimmt ein Sonderausschuss seine Beratungen auf. Eine Einreichung des OpenAI-Manuskripts bei einer solchen Zeitschrift ist bislang nicht bekannt.

Bestätigt die unabhängige Prüfung den Beweis, wäre damit gezeigt, dass die üblichen dreidimensionalen Navier-Stokes-Gleichungen unter Einwirkung einer glatten äußeren Kraft innerhalb endlicher Zeit eine Singularität entwickeln können. Offen bliebe weiterhin, ob eine sich selbst überlassene Strömung ohne äußeren Antrieb spontan kollabieren kann. Für einen Teil des seit Jahrhunderten bestehenden mathematischen Problems läge dann eine Antwort vor; der physikalisch unmittelbarere Fall wäre noch immer ungelöst.