OpenAI laat Navier-Stokes bezwijken

De Navier-Stokesvergelijkingen beschrijven de beweging van vloeistoffen en gassen: van oceaanstromingen en rookpluimen tot de waterstraal uit een tuinslang. Een van de zeven millenniumproblemen van het Clay Mathematics Institute draait om de vraag of de oplossingen in drie dimensies altijd glad en eindig blijven, of onder bepaalde omstandigheden ontsporen en wiskundig onbegrensd worden. Op 8 september publiceerde OpenAI een manuscript van 166 pagina's en een formeel, machinaal controleerbaar bewijs, waarmee het bedrijf de kwestie zegt te hebben opgelost. Drie dagen later reageerde Clay dat het probleem "kennelijk is opgelost". Dat is opvallend positief geformuleerd, maar nadrukkelijk nog geen definitief oordeel.

De claim is beperkter dan veel berichtgeving doet vermoeden. Het resultaat van OpenAI gaat over vloeistoffen waarop een externe kracht wordt uitgeoefend: een zorgvuldig geconstrueerde, gladde impuls brengt een aanvankelijk stilstaande vloeistof binnen eindige tijd naar een singulariteit, een punt waarop de wiskundige uitkomst niet langer eindig is. Het bewijs zegt niets over de vraag of zo'n ontsporing ook spontaan kan ontstaan in een gewone vloeistof zonder externe kracht. Juist dat onderscheid bepaalt wat OpenAI wel en niet heeft aangetoond.

Waarom de externe kracht ertoe doet

Clay beschrijft in zijn officiële probleemstelling vier mogelijke routes naar een oplossing. Twee daarvan vragen om een bewijs dat gladde stromingen altijd glad blijven. De twee andere, alternatieven C en D, laten toe dat een situatie wordt geconstrueerd waarin een gladde stroming onvermijdelijk ontspoort. Bij die laatste twee routes staat Clay expliciet een gladde externe kracht toe.

OpenAI koos die tweede route. Volgens het manuscript kan een speciaal geconstrueerde, gladde kracht bij iedere mate van viscositeit een aanvankelijk stilstaande vloeistof naar een singulariteit duwen, terwijl de totale kinetische energie begrensd blijft. Viscositeit is hierbij de eigenschap waardoor honing langzaam en water juist gemakkelijk stroomt. Houdt het bewijs stand, dan voldoet deze constructie aan de voorwaarden van Clay.

De methode bouwt voort op eerder onderzoek. De Spaanse wiskundigen Diego Córdoba en Luis Martínez-Zoroa hadden samen met Fan Zheng in een voorpublicatie al aangetoond dat een extern opgewekte singulariteit kon ontstaan in een afgezwakte versie van de vergelijkingen. Daarin was het gladstrijkende effect van viscositeit kunstmatig verminderd. De doorbraak die OpenAI claimt, is dat dezelfde strategie ook werkt voor de volledige, ongewijzigde vergelijkingen.

Wat Lean controleert

De bijbehorende Lean 4-opslagplaats maakt de claim bijzonder. Lean is een bewijsassistent: software die iedere logische stap afwijst wanneer die niet volgt uit de vastgelegde definities en aanvaarde regels. Een kleine, als betrouwbaar beschouwde softwarekern controleert elke gevolgtrekking.

Daardoor laat het bewijs zich beter doorlichten dan een uitsluitend in wiskundig proza geschreven redenering. Lean controleert echter alleen de interne samenhang: volgt de conclusie uit de definities zoals die in de software zijn vastgelegd? Of die definities werkelijk alle voorwaarden uit Clays Engelstalige probleemstelling dekken, moeten deskundigen op het gebied van vloeistofdynamica beoordelen. Het manuscript en de opslagplaats zijn door het bedrijf zelf gepubliceerd en niet collegiaal getoetst. Op 14 september was bovendien nog geen openbare, onafhankelijke controle van de volledige opslagplaats gedocumenteerd.

OpenAI stelt dat een eigen systeem van parallel werkende AI-instanties het analytische resultaat heeft gevonden, waarna het GPT-6 Astra-model dit in Lean formaliseerde (OpenAI). De cijfers die het bedrijf noemt over de schaal en snelheid van dat proces zijn niet onafhankelijk reproduceerbaar. Buitenstaanders kunnen de uitkomst immers wel inspecteren, maar het productieproces niet herhalen.

Volgens Quanta Magazine publiceerden Tristan Buckmaster van NYU en de aan Anthropic verbonden Levent Alpöge ongeveer twaalf uur vóór de aankondiging van OpenAI verwante, met AI verkregen resultaten voor naburige vloeistofvergelijkingen. Ook zij gebruikten de strategie van Córdoba en Martínez-Zoroa. Dat twee commerciële AI-laboratoria vrijwel gelijktijdig uitkomen bij een route die aan universiteiten is ontwikkeld, laat vooral zien hoeveel deze resultaten aan eerder wiskundig onderzoek te danken hebben.

Wat nu volgt

Volgens de prijsregels van Clay moet de oplossing eerst verschijnen in een erkend wetenschappelijk tijdschrift met collegiale toetsing. Daarna volgen minstens twee jaar van onderzoek door de vakgemeenschap en moet brede aanvaarding ontstaan, voordat een speciale commissie überhaupt aan haar beraad begint. Voor het manuscript van OpenAI is vooralsnog geen indiening bij een tijdschrift bekend.

Bevestigt onafhankelijk onderzoek het bewijs, dan staat vast dat de standaardvergelijkingen van Navier-Stokes in drie dimensies onder invloed van een gladde externe kracht binnen eindige tijd een singulariteit kunnen ontwikkelen. De vraag of hetzelfde spontaan kan gebeuren in een vloeistof die aan haar eigen dynamiek wordt overgelaten, blijft open. Daarmee zou één helft van een eeuwenoud vraagstuk zijn beantwoord. Op de andere helft blijft de wiskunde voorlopig wachten.