OpenAI konstruerar singularitet i Navier–Stokes

Navier–Stokes-ekvationerna beskriver hur vätskor och gaser rör sig, från havsströmmar och rökslingor till vatten ur en trädgårdsslang. Frågan är om lösningarna i tre dimensioner alltid förblir jämna och ändliga eller om de under vissa förhållanden kan växa mot oändligheten och förlora sin matematiska mening. Det är ett av de sju millennieproblem som Clay Mathematics Institute har formulerat. Den 8 september publicerade OpenAI ett 166-sidigt manuskript och ett maskinkontrollerbart formellt bevis som enligt bolaget löser problemet. Tre dagar senare svarade Clay att problemet "av allt att döma har lösts". Formuleringen är positiv, men uttryckligen preliminär.

Påståendet är mer avgränsat än vad mycket av rapporteringen antyder. OpenAI behandlar påtvingade flöden, där en noggrant konstruerad och jämn yttre kraft får en vätska som från början är stilla att utveckla en singularitet inom ändlig tid. Vid en sådan punkt upphör ekvationerna att ge ett ändligt svar. Resultatet säger däremot inget om huruvida ett vanligt flöde utan yttre påverkan spontant kan bryta samman. Den skillnaden avgör vad OpenAI faktiskt hävdar sig ha bevisat.

Varför den yttre kraften spelar roll

Clays officiella problemformulering anger fyra möjliga vägar till en lösning. Två gäller frågan om jämna flöden alltid förblir jämna. De övriga, alternativ C och D, innebär att man konstruerar ett fall där ett från början jämnt flöde oundvikligen bryter samman. I dessa två alternativ tillåter Clay uttryckligen en jämn yttre kraft.

OpenAI har valt den senare vägen. Enligt bolagets manuskript kan en särskilt konstruerad och jämn kraft driva en stillastående vätska mot en singularitet vid vilken viskositet som helst, samtidigt som den totala rörelseenergin förblir begränsad. Viskositeten är den egenskap som gör att honung flyter långsamt och vatten lättare. Om beviset håller uppfyller konstruktionen Clays villkor.

Metoden bygger på tidigare forskning. De spanska matematikerna Diego Córdoba och Luis Martínez-Zoroa hade tillsammans med Fan Zheng redan visat i ett förhandsmanuskript att ett påtvingat sammanbrott kunde uppstå i en försvagad version av ekvationerna, där viskositetens utjämnande verkan hade minskats på konstgjord väg. OpenAI hävdar nu att samma strategi fungerar för de fullständiga, oförändrade ekvationerna.

Vad Lean verifierar

Det medföljande Lean 4-arkivet skiljer påståendet från mer traditionella matematiska utspel. Lean är en så kallad bevisassistent: ett program som underkänner varje logiskt steg som inte följer av de kodade definitionerna och godtagna reglerna. Varje slutledning kontrolleras av en liten programkärna som användaren måste lita på.

Det gör granskningen mer hanterbar än om experter enbart hade haft ett långt matematiskt manuskript att bedöma. Lean kontrollerar dock bara den interna logiken, alltså att slutsatserna följer av definitionerna så som de har kodats. Specialister på strömningsmekanik måste fortfarande avgöra om kodningen verkligen återger samtliga villkor i Clays engelskspråkiga problemformulering. Manuskriptet och kodarkivet har publicerats av bolaget och är inte sakkunniggranskade forskningspublikationer. Den 14 september fanns heller ingen offentligt dokumenterad, oberoende expertgranskning av hela arkivet.

Enligt OpenAI tog ett internt system med parallellt arbetande AI-instanser fram det analytiska resultatet, varefter bolagets modell GPT-6 Astra formaliserade beviset i Lean (OpenAI). De uppgifter som bolaget lämnar om arbetets omfattning och hastighet kan inte verifieras oberoende. Utomstående kan granska resultatet, men inte återskapa processen som genererade det.

Quanta Magazine rapporterade att Tristan Buckmaster vid NYU och den Anthropic-anknutne Levent Alpöge publicerade närliggande AI-assisterade resultat om besläktade flödesekvationer omkring tolv timmar före OpenAI. Även deras arbete utgick från Córdoba och Martínez-Zoroas strategi. Att två kommersiella AI-laboratorier nästan samtidigt följde samma väg visar samtidigt hur beroende resultaten är av det tidigare universitetsbaserade matematikarbetet.

Vad händer nu?

Enligt Clays prisregler måste resultatet publiceras i en godkänd sakkunniggranskad tidskrift, granskas av forskarsamhället i minst två år och nå allmän acceptans innan en särskild kommitté ens börjar överväga priset. Någon tidskriftsinlämning av OpenAI:s manuskript har inte kunnat identifieras.

Om oberoende granskare bekräftar beviset visar det att de vanliga tredimensionella Navier–Stokes-ekvationerna kan utveckla en singularitet inom ändlig tid när flödet utsätts för en jämn yttre kraft. Frågan om ett flöde utan sådan påverkan spontant kan bryta samman förblir olöst. Därmed skulle en av problemets två delar ha fått ett svar, medan den andra återstår.